含绝对值的函数最值问题在近几年一些省份高考中已成为一个热点问题，浙江尤为明显．粗看起来不外乎两种类型：函数内嵌局部绝对值最值问题和函数的整体绝对值最值问题．但这两类绝对值的函数最值问题处理起来，还是有很大差别的．从解决问题的本源方法来看，都要围绕“去绝对号”做好文章．但对于函数的整体绝对值最值问题我们也可以根据“切比雪夫不等式的逼近原理”找到更加简洁的处理办法．

1．问题提出

(2017年高考浙江数学试题第17题)已知a∈R，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是_________．

2．多维思考

视角1:由于在区间[1,4]上的值域是[4,5]，记4≤b≤5，则f(x)-a=|b-a|在[1,4]上的最大值是5-a，显然时满足．

视角2:用对勾函数图像的翻折变换理解：令则h(x)图像可以看成是g(x)图像向上(a<0)或向下(a>0)平移|a|个单位，然后进行图像的翻折变换．

①若a≤4，则|5-a|+a=5恒成立；

②若则|5-a|+a=5恒成立；

③若则|a-4|+a=5不成立．其中，情况①的图像不翻折，而②③两种情况的图像要进行翻折．所以a的取值范围是：

视角3:用含参绝对值不等式理解：记f(x)的最大值为M(a)，则M(a)=max{|f(1)|,|f(2)|,|f(4)|}=max{|5-a|+a,|4-a|+a}=5，所以即故a的取值范围是

视角4:令则f(x)-a=|g(x)-a|．将|g(x)-a|看成g(x)图像上的点到直线y=a的距离，且满足最大值为5-a．

图1

如图1，我们在直线y=4和y=5中间等距画出直线

当时，|g(x)-a|的最大值是|a-4|=5-a不成立；当时，|g(x)-a|的最大值是|5-a|=5-a恒成立．故a的取值范围是

虽然视角1的解释简洁明了，但遇到复杂的函数类型，比如含参过多则处理起来就不方便了．为了解决更多类型的含绝对值函数的最值问题，现择取视角4的解释进行拓展：从含单参的绝对值函数最大值问题推广到含双参的函数的最大值的最小值问题．

3．推广重释

已知函数f(x)=|g(x)-a|(a∈R)，其中g(x)是定义在闭区间[m,n]上的连续函数，且g(x)的最大值为g(x)max，g(x)的最小值为g(x)min．若f(x)的最大值为M(a)，求M(a)的最小值．

分析与论证：因为g(x)min-a≤g(x)-a≤

g(x)max-a，所以M(a)=max{|g(x)min-a|,|g(x)max-a|}，从而于是2M(a)≥|g(x)min-a|+|g(x)max-a|≥

|(g(x)min-a)-(g(x)max-a)|≥|g(x)min-

g(x)max|=g(x)max-g(x)min，故当且仅当a=

时等号成立．

用上述推理过程简化解释视角4：设记f(x)的最大值为M(a)．

显然g(x)max=5，g(x)min=4．

则故

由于f(x)的最大值是5，故M(a)=5(常数函数)，所以即

4．教学反思

对于含参绝对值函数的最大值问题，处理起来基本上有三种途径：

一是借助分类讨论，去掉绝对号，化为分段函数探讨．但它的使用范围有限，适合解决比较特殊的函数(即图像操作性强的函数)，使用起来有很大的局限性.(这是视角2的思想方法)

二是利用绝对值不等式或绝对值三角不等式(即||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|)，结合最大值定义合理放缩，消元求解.(这是视角3的思想方法)

三是利用绝对值的几何意义(即|a-b|表示数轴上a,b所对应的点之间的距离)，数形结合，借助几何图形直观解决．(这是视角1和视角4的思想方法，但视角1解释更加简洁)

5．教学价值

上述推广的结论可以处理很多更加复杂的含双参的绝对值函数的最值问题．请看2015年高考浙江理科数学试题第18题：

已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)，记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值．

(Ⅰ)证明：当|a|≥2时，M(a,b)≥2；

(Ⅱ)当M(a,b)≤2，求|a|+|b|的最大值．

解析:对(Ⅰ)，令g(x)=x2+ax，则|f(x)|=|g(x)-(-b)|．当|a|≥2时，g(x)图像的对称轴?[-1,1]，故g(x)在区间[-1,1]上单调．不妨记为单调递增，此时a≥2，故g(x)max=g(1)=1+a，g(x)min=g(-1)=1-a．所以

对于(Ⅱ)，则利用绝对值三角不等式考虑，在此不再赘述．

6．解题回味

再看2015年高考浙江理科数学试题第18题的第(Ⅰ)问，如果换个角度用“等距画线，图像分析”，就有不同的收获与体验．记g(x)=x2(-1≤x≤1)，则|f(x)|=|g(x)-(-ax-b)|．

图2

不妨设a≤-2，如图2，利用导数求出直线l2与g(x)图像的交点所以直线l1:y=-ax-a+1，直线故

一个好的教学问题能很好地激发我们研究的兴致，并且我们可以从多个角度审视并解决它，我们教学不仅仅为了解题而解题，更需要通过有限的典型范例的学习去领悟那种解无限道题的数学机智，去培养和帮助我们的学生，让学生领悟到更多的人生内涵，也能学到更多的智慧．